全学自由研究ゼミナール「じっくり学ぶ数学」

2006年度 夏学期 終了しました

担当教員 牛腸 徹

お気づきの点がございましたら、 プリントの内容については牛腸 (gochoアットマークms.u-tokyo.ac.jp)まで、 ページについては清野 (nkiyonoアットマークmail.ecc.u-tokyo.ac.jp)まで ご連絡頂ければ幸いです。

更新終了


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※いずれも内容は学期中にお配りしたプリントと同じものです。


講義日時と場所

終了しました。

プリント


講義内容

第13回 (7月14日, および, 15日) の内容

「余因子」とは何かということを説明した後で、 与えられた正則行列の逆行列を「余因子行列」を用いて具体的に表わす 「Cramerの公式」について説明した。

第12回 (7月11日, および, 15日) の内容

前回の結果にもとづいて、 「行列式の展開公式」について説明した。 また、行列式は「行列の積」を「数の積」に写すということを説明し、 「行列式の値が0でない」ことと「正則行列である」 ことが同値であることについても説明した。

第11回 (7月7日, および, 8日) の内容

与えられた行列の行列式の計算を、 よりサイズの小さな行列の行列式の計算に帰着させる原理について説明した。

第10回 (6月30日, および, 7月1日) の内容

「行列式」とは「(符号付の)面積や体積」を対応させる関数であることを説明した。 また、そうした関数は、「多重線型性」、「歪対称性」、 「規格化条件」という三つの性質で特徴付けられることについても説明した。

第9回 (6月23日, および, 24日) の内容

「基本変形を用いた連立一次方程式の解法」について説明した。

第8回 (6月16日, および, 17日) の内容

「基本変形を用いた逆行列の計算」について説明した。

第7回 (6月9日, および, 10日) の内容

「基本変形」とは何かということを説明した。また、「基本変形を用いた行列のrankの計算」についても説明した。

第6回 (6月2日, および, 3日) の内容

Taylor展開の応用として、「極限の計算」について説明した。 また、定義にもとづいてTaylor展開を求めることは、一般には困難であることを注意して、 Taylor展開が計算できる関数の積や商として表わせる関数、 あるいは、それらの合成関数のTaylor展開の計算法について簡単に説明した。

オプション講義 (5月26日, および, 27日) の内容

n次の多項式の中で、関数 f(x) のTaylor多項式が、x=0 の近くで、 f(x) を最も良く近似する(グラフの形が最も似ている)多項式であることを説明した。また、より一般に、「x=a のまわりでのTaylor展開」ということについても説明し、関数 f(x) の x=a のまわりでのTaylor多項式が、x=a の近くで、 f(x) を最も良く近似する(グラフの形が最も似ている)多項式であることを説明した。さらに、1次や2次のTaylor多項式の様子を調べることが、もともとの関数 f(x) の大まかな様子を「増減表を描いて調べる」ということに対応することを説明した。

第5回 (5月19日, および, 20日) の内容

三角関数や指数関数が、 実際に「次数が無限大の多項式の姿」に「化ける」ことを、 「Taylorの定理」を用いて確かめることができることを説明した。 また、Taylor展開の応用として、 「自然対数 e の近似値の計算」についても説明した。

第4回 (5月12日, および, 13日) の内容

「微積分学の基本定理」をもとにして、 部分積分を繰り返すことで、 一般の関数を「おつりの項」付きで 「次数が有限の多項式の姿」に「化かす」ことができることを説明する予定。 また、「積分に関する平均値の定理」を用いて、 「おつりの項」をより記憶に易しい形に書き直せることを説明する予定。

第3回 (4月28日, および, 29日) の内容

一般の関数が「多項式の姿」に「化ける」としたら、 どのような「姿」に「化ける」のがもっともらしいのかということを議論した上で、 三角関数 sin x、cos x や指数関数 exp(x) が、 どのような「多項式の姿」に「化ける」のがもっともらしいのかということを述べた。 また、これらの関数の「多項式の姿」がお互いによく似ていることに注意した上で、 オイラーの公式などについても説明した。 さらに、1/(1-x) という関数を取り上げて、 この関数が |x|<1 という範囲でのみ、 「多項式の姿」に「化ける」ことを説明した。

第2回 (4月21日, および, 22日) の内容

写像や関数の定義を与えた上で、微(積)分学の主目標は「関数の性質をより良く理解する」ことであること、また、そのための戦略が「理解の難しい一般の関数を「多項式の姿」に「化か」して、理解の容易な「多項式の姿」を通してその性質を調べる」ことであることを述べた。特に、sin x という関数を取り上げて、sin x を「多項式の姿」に「化かす」ためには、「次数が無限大の多項式の姿」を考える必要があることを注意した。

第1回 (4月14日) の内容

ゼミナールの説明会という意味も込めて、ゼミナールの進め方、数学TにおけるAコースとBコースの違い、数学を学ばれるにあたって大切ではないかと思われる点などについて説明した。