「一番運が悪かった場合」、つまり、「毎回得られる情報量が一番少なかった 場合」を考えなければならないと僕は思います。
７個のうち２個が偽物な ので、必要な情報量はlog2(21)両方の皿に違う個数ずつのせる試行は無意味な ので考えない。１個ずつのせるとき、片方の皿が下がる確率はそれぞれ5/21で、 釣り合う確率は11/21。故に、１回の試行で得られる情報量の最小値は log2(21/11)。同様に考えると、２個ずつ、３個ずつをのせる時に得られる情報 の最小値はそれぞれlog2(3),log2(28/13)。これらはいずれも２倍しても log2(7/2)に届かないので、２回の試行では必ずしも十分な情報量が得られると は限らない。故に、２回で必ず偽物を見つけ出すことは不可能である。
これが僕の答えです。このとき、確かに皿に２個ずついれたときの平均情報量 と、最低の情報量は等しくなりますが、意味があるのは平均情報量ではなく最 低の情報量だと僕は思います。
「平均情報量」そのものは生起確率が確定しないと求めることはできないわけ ですが，「n通りのメッセージの平均情報量の最大値」は求まります(教科書 P.43-44のあたり)．それを使えば，具体的な場合わけを考えなくても証明でき るというわけです．