6/18 課題

今日の課題をこなすために，マンデルブロー集合の定義と，マンデルブロー集合を計算する簡単なプログラムの説明をおこなう．

マンデルブロー集合とは

ある複素数 C を与えた時，

Z₀=0
Z_n+1=Z_n*Z_n+C

として，複素数列{Z_n}が定義できる．ここで，n->∞としたとき， |Z_n|が発散しないようなCの集合をマンデルブロー集合という．

マンデルブロー集合は,集合の境界が複雑な形をしていて, 拡大をしても元の図形と同じような複雑度を保っている．このような自己相似のことを総称してフラクタルと呼ぶが,マンデルブロー集合はフラクタルな図形の中ではもっとも有名である．

マンデルブロー集合は定義に無限回の繰り返しを含んでいるため, 計算機上で正確に描くのは,困難である．そこで, 一般には

|Z_n|がある値(たとえば 2)を超えたら発散と見なす．
十分大きい回数(たとえば 50)繰り返しても|Z_n|がある範囲に収まっていれば,発散しないと見なす．

という近似を使って計算できる．以下は, この近似を用いてマンデルブロー集合を計算するプログラムである(マンデルブロー集合は画像の黒い部分で表される)．なお,「//」は注釈(コメント)の始まりを表す．

class Mandel{
  // 実数を引数(パラメタ)に持つメソッド mandel の定義
  static int mandel(double x, double y){
    double zr=0, zi=0,new_zr;
    int i;
    for(i=0;i<50;i=i+1){
      if(zr*zr+zi*zi>4.0) { // |Z_i|>2.0 の時は発散と判断
        return i;
      }
       // 複素数の計算
       // (zr+zi*i)*(zr+zi*i)+x+y*i=(zr*zr-zi*zi+x)+(2*zr*zi+y)*i
      new_zr=zr*zr-zi*zi+x;
      zi=2*zr*zi+y;
      zr=new_zr;
    }
    return 50;
  }
  public static void main(String[] args){
    int width=256, height=256;
    System.out.println("P3 "+width+" "+height+" 255");
    int i,j,r;
    double x, y;
    for(i=0;i<height;i=i+1){
      for(j=0;j<width;j=j+1){
           // -1.7 <= x < 0.7, -1.2 <= y < 1.2の範囲で計算
           // 実数(double)から整数(int)への変換は「(double)整数式」
           // のようにおこなう．
        x= -1.7+2.4*((double)j/(double)width);
        y= -1.2+2.4*((double)i/(double)height);
           // 0 <= r <= 50の値が返る
        r=mandel(x,y);
           // r=50の時に黒(0,0,0), r=0の時にほぼ白(250,250,250)とする．
        System.out.println((250-r*5)+" "+(250-r*5)+" "+(250-r*5));
      }
    }
  }
}

このプログラムを Mandel.java というファイルに保存して,

javac Mandel.java
java Mandel > mandel.ppm

と実行すると，mandel.ppm というファイルが得られる．これは，

display mandel.ppm

で見ることもできるし(display コマンドの終了は，左ボタンでメニューを出してFile->Quitを選択)，

convert mandel.ppm mandel.gif

として gif 形式に変換して，Netscape Navigatorで見ることもできる．できた mandel.gif は以下のようになる．

        System.out.println((250-r*5)+" "+(250-r*5)+" "+(250-r*5));

の行を,たとえば

        System.out.println(((50-r)*71)%256+" "+((50-r)*111)%256+" "+((50-r)*97)%256);

とすると(「%」は剰余(mod)を表す演算子, 256で割った余りは 0-255になる),

のようなカラーの絵が得られる．

上のプログラムを, ~/jousho03 以下に Mandel.java という名前で保存して, コンパイル，実行してみなさい．
上のプログラムは，-1.7 <= x < 0.7, -1.2 <= y < 1.2の範囲でマンデルブロー集合を計算しているが, より狭い範囲(元のプログラムよりも縦横それぞれ 1/4 以下)を計算するように Mandel.java を書き換えなさい(範囲の選び方を間違えると，境界部分が含まれないつまらない画像になってしまうので，注意すること，元のプログラムの画像で左上の点が(-1.7,-1.2), 右下の点が(0.7, 1.2)なので，複雑そうな所を見当をつけてそこを拡大すると良い)．
上のカラー画像は色使いにセンスがないので，Mandel.java
```
        System.out.println(((50-r)*71)%256+" "+((50-r)*111)%256+" "+((50-r)*97)%256);
```
の部分を書き換えて(71, 111, 97あたりの数字)，より綺麗な画像を作成するように書き変えなさい．

すべての書き換えをおこない．プログラムがちゃんと動くことを確認したら，

/home/ktanaka/bin/report618 1

を実行してください．

締切は 6/25 の 21:00まで．

今回の課題は前回の課題と比べて自由度が大きいので，偶然同じ画像を作るプログラムが提出される確率はほとんど無いと期待している．