12/7 数値計算(2)

補足

演習室内は飲食禁止です．ペットボトル等を持ち込む場合も，バッグの中にしまってください．
試験は2017年1月25日(水) 3限になりそうです．

前回の感想，質問より

Q.

最初"2*i"と書くべきところを、2iと書いていて、プログラムを実行してみたら

simpson(0,1,1000)
=> (0.039428039133911824+0.0003325003552482901i)

というようになった。しかし、for文のiをjに変え、2jのようにかくと、エラーになった。これらのことから、プログラムで2iのようにかくとiは虚数として扱われるとして理解して良いのでしょうか？

A.

はい。それで正しいです。教科書の範囲は外れていますが、2iのような表記は虚数を表すのに使われています

Q.

irb(main):026:0> (PI/4 - montecarlo(100000)).abs()
=> 4.183660255174804e-05

のような値が出たことがあるのだが、これはどういう意味だろうか。

A.

4.183660255174804e-05

というのは、

4.183660255174804 * (10 ** -5)

を意味しています。この表記法は「科学的表記法」と呼ばれて多くのプログラミング言語で用いられています．「e」は指数部(exponent)の頭文字からきていて，大文字の「E」も用いられます．

Q.

初めてシンプソン法というものを使った。シンプソンズという海外のアニメは知っていたが、シンプソンは知らなかった。驚きの事実である。シンプソン法とシンプソンズには何らかの関係があるのではないだろうか。これは僕の仮定なのだが、もし関係があればあのアニメの中に積分する話が出てくるだろう。

A.

シンプソン(Simpson)は姓ですね．シンプソンズはシンプソンという姓を持つ一家の話であり，シンプソン法は公式を広めた(発見者は別という話)，18世紀のイギリスの数学者トーマス・シンプソンにちなんでいるので，語源的には関係あります．

Q.

今更聞くのも恥ずかしい質問なのですが、for文の中でiという文字は初めて登場しているように思えます。これは前もってi=1などと定義しておかなくても大丈夫なのですね…。今までにもあったのかもしれませんが気付きませんでした。

A. (TA森永さん)

rubyでは大丈夫ですね。 c言語で

for (i = 0; i < 10; i++){
    ...
}

と書くように、初期化文、条件文、再初期化文を書かないといけない言語もありますが、rubyやpythonなどの言語はこのように構文が簡単化されています。 for i in ... という構文は...のそれぞれの要素を順にiに割り当ててループを実行していくという意味なので、 for i in 0..10 のようなrangeによる指定以外にもfor i in ["a","b","c"] のような形で配列を使って書くことでできます。

Q.

教科書を読んで、このプログラムで用いられているrand()はどのように生成されたどのような種類に当てはまる乱数なのだろうかとふと思った。

A.

メルセンヌ・ツイスタという松本眞(現広島大)さんらが提案した乱数を使っているようです．メルセンヌ・ツイスタは性質も良く(暗号への使用は向いていませんが)，生成速度も速いので広く使われていますね．

Q.

ところでスライド13pのソースコード内に4みたいな整数がある一方で最終行は3.0みたいな小数の形で書いていますが特別な意味があれば教えていただけると幸いです。

A.

一般には，

irb(main):002:0> x = 4
=> 4
irb(main):003:0> x / 3.0
=> 1.3333333333333333
irb(main):004:0> x / 3
=> 1

のように，被除数が整数の時は3.0で割るのと3で割るのを区別することに意味があります．ただし，このプログラムでは，

  deltax=(xe-xs)*0.5/n

を実行しているため，deltaxは実数データで表現されると見なされ，deltax * sum も実数データと見なされています．したがって，3.0の代わりに3と書いても結果は同じになります．それでも 3.0 と書いているのは「ここでの除算は余りのない除算でおこなう」ことを明示的に表すためだと思います．

前回の課題について

ITC-LMSの掲示板11/30課題，質問への書き込みは 12/7 9:40現在で 57名が済んでいます．
回答が多かったのは simpson
simpson.rb の関数simpsonの典型的な回答は以下のとおり．
```
def simpson(xs,xe,n)
  deltax = (xe-xs)*0.5/n
  sum = f(xs)+f(xe)+4*f(xs+deltax) 
  for i in 1..(n-1)
    sum = sum + 2 * f(xs+2*i*deltax) + 4 * f( xs + (2*i + 1) * deltax)
  end
  deltax * sum / 3.0 
end
```
なお，
```
sum = 0
for i in 0..(n-1)
  sum = sum + f(xs+2*i*deltax) + 4 * f(xs+(2*i+1)*deltax ) ＋f（xs+(2*i+2)*deltax)
end
```
と書いても結果は同じになるのではないかと書いた人もいました．たしかにその通りで，直感的にも理解しやすいのですが，f(xs+(2*i+2)*deltax) の計算は，iを1増やした時のf(xs+2*i*deltax)と同じになるので，同じ計算を2回おこなうことになります．これを省略するために，教科書にあるような式で計算します．
モンテカルロ法の誤差が，ある値以下になるまで繰り返すというプログラムを書いてくれた人もいました．モンテカルロ法は乱数の出方によって毎回結果が違うので，あるnに対して実験を繰り返して誤差がどのような分布になるかを観察することに意味があります．乱数の性質が良ければ，二項分布に従うことが予想されます．

今日の練習，投票

講義資料

教科書は情報科学入門 2700円(税込み) になります．正誤表が公開されているので，そちらも参照してください．また，電子版も発売されています(書籍版よりも若干安くなっているようです)．
講義スライドはITC-LMSで「アルゴリズム入門(水4)」を選んで「教材」を選択するとダウンロードできるようにする予定です．

講義フォルダの作成

講義に関連したファイルはホームフォルダ直下に置くのではなく，講義専用のフォルダをalgo16 という名前で作成してください．ターミナルでフォルダを作るには，
```
mkdir algo16
```
のようにします．そして，ターミナルを開くたびに
```
cd algo16
```
と入力してからirbを動かしてください．詳しくは，はいぱーワークブック「14.4 コマンドを使ったファイル操作」を参照してください．

配付プログラムのダウンロード

配付プログラムのページから，allcode.zipのリンクを右クリックして，「リンク先のファイルを別名でダウンロード」を選びます．
保存先のフォルダとして，さきほど作成したalgo16を選択します．
ターミナルで，
```
cd algo16
unzip allcode.zip
```
を実行するか，Finderでalgo16のフォルダの下のallcode.zipをダブルクリックすると，algo16の下にすべての配付プログラムが展開されます．
配付プログラムは，未完成の場合があります．mi等のテキストエディタで中身を確認した上で，必要があれば修正して使います．

投票システム

vote.rbをダウンロードして(「リンク先のファイルを別名で保存」で，ホームフォルダの下のalgo16を選択(なければ作る)．".txt"を「追加しない」を選ぶ)，ホームディレクトリに保存します．ドックからターミナルを起動して，

cd algo16

を済ませてから，

ruby vote.rb 選択肢番号

のように使います．

irbを使いながら(一旦終了せずに)，投票システムも使うには，ターミナルのメニューバーの「シェル」->「新規タブ」を選ぶか，[Command]+[T]で別のタブを開いて(あるいは[Command]+[N]で別のウィンドウを開いて)，投票システムを使うことをお勧めします．このあたりのことは，「はいぱーワークブック」の15.4 ターミナルの便利な使い方に書いてあるので参考にしてください．

テキストの補足

数値解析には汎用のプログラミング言語を使わずに，数式処理系を使う方法もある．教育用計算機システムでは，Mathematica(HWB:29. Mathematica)が使える．

実際のRuby処理系での実数の倍精度表現を見るには，以下のようにすれば良い．

irb(main):003:0> a = 0.5
=> 0.5
irb(main):004:0> printf("%064b\n",[a].pack("E").unpack("Q")[0])
0011111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000
=> nil

逆の変換は以下のようにやる．

b = "0011111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000"
[b.to_i(2)].pack("Q").unpack("E")

単精度表現は


irb(main):005:0> printf("%032b\n",[0.5].pack("e").unpack("L")[0])
00111111000000000000000000000000
=> nil

と

irb(main):006:0> ["00111111000000000000000000000000".to_i(2)].pack("L").unpack("e")
=> [0.5]

irb, isrbの中でカレントディレクトリ (参照, HWB: 14.4.2 ディレクトリの操作) を変更するには，
```
isrb(main):004:0> Dir.chdir("./algo16")
```
のように，Dirクラスのchdirメソッドを使うと良いようです．Windows版のisrbで起動後にカレントディレクトリが変わってしまうという症状が出る場合は，これで対応できます．
第4章のチェックは配布プログラム中のcheck.rb では prime のチェックがうまくいかないようです．とりあえずは修正版のcheck.rbを ~/algo16 にダウンロードすると直るはずです．
ターミナルでは，メニューバーから，「シェル」->「新規ウィンドウ」あるいは，「コマンドキー(⌘)」+「N」で新たなターミナルウィンドウを開くことができます．

ウィンドウが多くなるのが面倒な人は，「シェル」->「新規タブ」あるいは「コマンドキー(⌘)」+「T」で同じウィンドウ内に新しいタブでターミナルを開くことができます．

ターミナルを開くたびに
```
cd ~/algo16
```
と入力してください．これらの機能を使うと，irbを抜けずにvoteできます．
ターミナルの基本的な使い方は，はいぱーワークブックの15.2 ターミナルの基本的な使い方を，より高度な使い方は，15.4 ターミナルの便利な使い方を参照してください．
cdというコマンドと「~」の意味は，はいぱーワークブックの14.4 コマンドを使ったファイル操作の14.4.1 ディレクトリを読むと分かります．
miを使う場合に改行コードがCR(Mac)になっている場合は，LF(UNIX)にしてから保存してください．
Webブラウザ上で，ターミナルの実行，Ruby関数の実行，ファイルの編集ができる iruby が利用可能になっています．ターミナル上で，
```
iruby notebook
```
を実行すると，Webブラウザ上で対応するタブが開きます．
第1章で，irbを起動直後に，
```
include(Math)
```
を入力するように書いています．毎回入力するのが面倒な場合は，ホームディレクトリの下に「.irbrc」というテキストファイルを作り，その中に
```
include(Math)
```
と書いておくと，irb起動時にこのファイルの中身を実行してくれるので，毎回指定しなくても大丈夫です．ただし，このファイルの実行中にエラーが出ないように正しく記述剃る必要があります．また，
```
Math.sqrt(2)
```
のような形で指定すれば，
```
include(Math)
```
は不要です．
ある程度大きなプログラムを作る場合は，テキストエディタを使って入力してファイルに保存しておくと，後から修正したり再利用が容易におこなえます．テキストエディタの説明は，はいぱーワークブック「8. テキストエディタ」を参照してください．
この講義で作成したプログラムのファイルは自分のホームディレクトリ(ホームフォルダ)の下に「algo16」という名前のディレクトリ（フォルダ）を作って，その下に置くようにしています．スライドや教科書でファイル名が指定されている場合もあるので，その場合は指定されたファイル名を使うようにしてください．
miのRubyモードが現在標準では利用できないようです．mi 用モード(今野滋さんのページ)から自分でインストールしても良いのですが，講義受講者は，一度miを起動して終了後に，ターミナルで
```
cp -rp /home/5320954122/Ruby ~/Library/Application\ Support/mi/mode/
```
を実行してからmiを立ち上げるとRubyモードが利用可能なモードとして加わります．
miの改行コードの変更は，miを立ち上げてメニューバーから「mi」->「モード設定」を選んでください．

の画面が出るので，モードを「Ruby」にして，改行コードを「LF(UNIX)」にして，ウィンドウを閉じてください．以降は，ファイル作成のさいに，「ファイル」->「新規」->「Ruby」で作成すると正しい改行コードが設定されているはずです．
Finderの中でダブルクリックするだけでmiを起動できるようにしたい人は，Rubyソースファイルをmiと関連付けするを読んで設定してください．
情報科学入門: Rubyを使って学ぶ / 配付プログラムの中には練習問題のチェックプログラムが含まれています．たとえば，第1章の練習問題をテストする時には，同じディレクトリに，練習問題で作成したプログラムを教科書で指定されたファイル名で置いて，
```
ruby check.rb ex01.rb
```
と実行すると，関数を与えた時の入力と出力があっていることが確認できます．詳しくは，補足説明 (練習問題確認プログラムの使い方)を御覧ください．

今日の課題

講義中に投票を求められるので，投票システムを使って投票をしてください．
ITC-LMSの掲示板12/7の課題，質問に以下の内容を書き込んでください．プログラムを除いて100文字以上は書き込みをお願いします．(今日の講義の範囲ではプログラムを作成していないので，質問，感想等だけで構いません．また，範囲外のプログラムでも書き込んで構いません)
講義で用いた練習問題に対して自分が書いたプログラムと説明．プログラムが正しく動かなかった場合も，動かないプログラムとエラーメッセージを書きこんでください．講義で用いなかった教科書の練習問題に対して書きたい人は書きこんでも構いません．

自宅で自習をする人のために

アルゴリズム入門共通資料の中に講義で使うRuby言語の処理系のインストール法があります．